Отвязной мужик, Бернард Больцано
31. Доказательство того, что имеется по крайней мере, одна истина в себе
"Если бы каждое предложение было ложным, то само предложение о том, что каждое предложение ложно, было бы истинно. Следовательно, не каждое предложение ложно, но существует и истинные предложения, т.е. имеется также и истина, по крайней мере одна...

32. Доказательство того, что истин в себе несколько, даже бесконечно много

Как было показано, уже имеется, по крайней мере, одна истина в себе, так как противоположное утверждение привело бы к самопротиворечию...
Если кто-то утверждает, что имеется лишь одна-единственная истина, то само это утверждение можно записать выражением: А есть B. Но если кто-то настаивает, что это одна-единственная истина, то выражение "кроме истины "А есть B" не существует никакой другой истины" само должно быть истинным. Это утверждение отличается от первой истины очевидным образом, так как влючает в свой состав помимо "А есть B" еще и другие части. Следовательно, это утверждение, если оно истинно, является уже второй истиной и поэтому утверждение о том, что имеется только одна истина, ложно, поскольку истин уже, по крайней мере, две. Последнюю можно обозначить как выражение: C есть D и т.д., вплоть до (n+1)"
Бернард Больцано "Учение о науке" СПб., 2003, с. 71


Убивал бы за такие "доказательства".

(Post a new comment)

	serge_k 2004-05-23 07:18 pm UTC (link)
	А по-моему должно быть занятно. Что тебе не нравится? (Reply to this)(Thread)

	kmartynov 2004-05-23 07:25 pm UTC (link)
	Ну там доказательство строится по кругу на самом деле, хотя кажется, как будто от противного. Следования нет. Типа "все критяне лжецы", сказал критянин. На самом деле из этого доказательства следует, что нельзя утверждать ни истинность, ни ложность первой посылки, а поэтому из нее ничего и не следует. (Reply to this)(Parent)(Thread)

	(Anonymous) 2004-05-23 09:01 pm UTC (link)
	А где тут круг, можно полюбопытствовать? И почему из доказательства следует индетерминированность посылки?=) (Reply to this)(Parent)(Thread)

kmartynov 2004-05-23 09:58 pm UTC (link)

"Если бы каждое предложение было ложным, то само предложение о том, что каждое предложение ложно, было бы истинно." Вот здесь. Называть это круго неверно, конечно. Речь идет скорее о парадоксе. Если бы А было бы верно, то оно было бы неверно. - такова форма этого доказательства, из чего делается вывод, что А неверно. Все сводится к той самой проблеме, которая лежит в основе парадоксов теории множеста и для разрешения которой, например, Рассел создавал теорию типов: это проблема самоприменимых высказываний, когда некоторое высказывание А описывает само себя. (Reply to this)(Parent)

	insar 2004-05-23 07:19 pm UTC (link)
	А мне нравится :) (Reply to this)

	_ejik_ 2004-05-23 09:21 pm UTC (link)
	Первое утверждение чушь, потому что если все предложения ложны то и предложения о том, что все предложения ложны - ложно. Это же, так сказать, обязательное условие, по этому условия истинных утверждений вообще быть не может. Следовательно, и второе рассуждение неверно в принципе, так как оно вытекает из первого. (Reply to this)(Thread)

	kmartynov 2004-05-23 10:02 pm UTC (link)
	Ну простите, если предложение "все предложения ложны" ложно, то не все предложения ложны, а если предложения "все предложения ложны" истинно, то вот это и будет примером истинного предложения и следовательно, предложение "все предложения ложны" ложно ;) А если предложения "все предложения ложны" ложно, то существуют истинные предложения ;) Это тривиально ;)) (Reply to this)(Parent)(Thread)

	_ejik_ 2004-05-23 10:06 pm UTC (link)
	(кидает треух на пол и попирает его ногой) а если предположить, что кроме истинных и ложных предложений существует еще и третий тип предложений, так сказать, нейтральных? Ведь в условии об этом ничего не сказано! (Reply to this)(Parent)(Thread)

	kmartynov 2004-05-23 10:10 pm UTC (link)
	Можете привести пример? ;) (Reply to this)(Parent)(Thread)

	_ejik_ 2004-05-23 10:13 pm UTC (link)
	Сегодня пойдет дождь На момент написания предложение нейтрально, истинным оно станет только после наступления указанного в нем момента с последующим выяснением состояния погоды. (Reply to this)(Parent)(Thread)

	kmartynov 2004-05-23 10:17 pm UTC (link)
	Это старая проблема, ее еще Аристотель поминал, кстати ;) Думаю, что автор решил бы ее тоже традиционно: он заявил бы, что уже на момент написания это предложения истинно или ложно, только мы об этом не знаем сразу. (Reply to this)(Parent)(Thread)

(no subject) - _ejik_, 2004-05-23 10:21 pm UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-23 10:35 pm UTC

(no subject) - _ejik_, 2004-05-23 10:37 pm UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-23 10:45 pm UTC

(no subject) - _ejik_, 2004-05-23 10:47 pm UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-23 10:49 pm UTC

(no subject) - _ejik_, 2004-05-23 10:55 pm UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-23 10:59 pm UTC

(no subject) - _ejik_, 2004-05-23 11:10 pm UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-23 11:14 pm UTC

(no subject) - _ejik_, 2004-05-23 11:24 pm UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-23 11:29 pm UTC

(no subject) - _ejik_, 2004-05-24 12:05 am UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-24 12:27 am UTC

(no subject) - comrade_q, 2004-05-24 04:57 am UTC

(no subject) - alexeus, 2004-05-24 08:41 am UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-24 02:53 pm UTC

(no subject) - comrade_q, 2004-05-24 04:03 pm UTC

(no subject) - kmartynov, 2004-05-24 04:11 pm UTC

	Ну с точки зрения формальной логики vadim_dn 2004-05-23 10:19 pm UTC (link)
	доказательства неуязвимы (Reply to this)(Thread)

	Re: Ну с точки зрения формальной логики kmartynov 2004-05-23 10:34 pm UTC (link)
	Ну приведите логическую форму первого. (Reply to this)(Parent)(Thread)

	Re: Ну с точки зрения формальной логики vadim_dn 2004-05-23 10:58 pm UTC (link)
	U - универсальная группа. B - утверждение Больцано В содержит 2 утверждения 1. для любого x в U, x ложно (false) 2. B принадлежит U Следовательно В ложно. Значит ложно 1 или 2. 2 не может быть ложно (U - универсальная группа, а значит содержит все утверждения, включая В) значит ложно 1 (то есть U содержит по меньшей мере 1 истинное утверждение) (Reply to this)(Parent)(Thread)

	Re: Ну с точки зрения формальной логики kmartynov 2004-05-23 11:10 pm UTC (link)
	Как по вашему утверждение Больцано может содержать два утверждения? Вы сюда просто протаскиваете различие между универсумом ("унивесиальной группой") и его элементами, которого у самого автора нет. У него общее суждение применимо к самому себе, причем так, что если оно истинно, то оно ложно, что явно противоречит логике ;) (Reply to this)(Parent)(Thread)

	Re: Ну с точки зрения формальной логики vadim_dn 2004-05-23 11:17 pm UTC (link)
	B принадлежит U по умолчанию (то есть это подразумевается в контексте) А с точки зрения формальной логики коньюкция любого утверждения с истинным (truth) утверждением (то есть с принадлежностью В к U) не изменяет его логический статус (истинное остается истинным, ложное - ложным) (Reply to this)(Parent)(Thread)

Re: Ну с точки зрения формальной логики - kmartynov, 2004-05-23 11:20 pm UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - vadim_dn, 2004-05-23 11:31 pm UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - kmartynov, 2004-05-23 11:35 pm UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - vadim_dn, 2004-05-23 11:42 pm UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - kmartynov, 2004-05-23 11:47 pm UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики kmartynov 2004-05-24 06:59 pm UTC (link)

И потом дело не в форме все-таки. Смотрите, какая вещь получается: если унивесальный класс предложений U делится на два подкласса предложений - U1 (истинных) и U2 (ложных), причем по условиям первой посылки класс U1 является пустым, то предложение «истинных предложений не существует» не может быть элементом класса U, так как оно описывает этот самый U: если оно истинно, то оно относились бы к подклассу U1, а это невозможно по условиям, а если оно ложно, то это означало бы снова, что подкласс U1 не пуст, т.е., что это предложение противоречит самому себе. Поэтому единственный выход – это считать, что данное предложение не включается в класс U, а является его определением или метапредложением. (Reply to this)(Parent)(Thread)

	Re: Ну с точки зрения формальной логики vadim_dn 2004-05-25 12:04 am UTC (link)
	Грубейшие нарушения: 1.В описывает не U, а утверждения, входящие в U. 2.Если В ложно, то вы не можете заявлять, что посылка 1 истинна (то есть что U1 пусто). Не надо создавать парадоксы на ровном месте. (Reply to this)(Parent)(Thread)

Re: Ну с точки зрения формальной логики - kmartynov, 2004-05-25 12:10 am UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - vadim_dn, 2004-05-25 12:27 am UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - kmartynov, 2004-05-25 12:32 am UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - vadim_dn, 2004-05-25 12:38 am UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - kmartynov, 2004-05-25 12:45 am UTC

Re: Ну с точки зрения формальной логики - kmartynov, 2004-05-25 12:13 am UTC

	Re: Ну с точки зрения формальной логики alexeus 2004-05-24 08:48 am UTC (link)
	Уязвимость только одна. Предполагается, что множество утверждений, которому можно приписывать истинность или ложность не пусто и, что утверждению «Все высказывания ложны» можно приписывать истинность/ложность. В целом, такое допущение приемлимо. (Без допущений нет никаких доказательств вообще!!!) (Reply to this)(Parent)

	linguiste 2004-05-24 08:27 am UTC (link)
	Господа, напомню, что, помимо истинных и ложных, существуют также высказывания _лишенные смысла_. К каковым фраза "все утверждения ложны" и относится, кажется. Кроме того, с точки зрения конструктивизма доказательства от противного не проходят. (Reply to this)(Thread)

	alexeus 2004-05-24 08:51 am UTC (link)
	Лишенные смысла высказывания тоже могут быть истинными. :) Вы наверно имели в виду высказывания, которые не являются ни истинными, ни ложными. Вроде этого: «Это высказывание ложно.» Высказывание же «Все утверждения ложны» ложно. И это доказано в пункте 31. А доказательства от противного в полне приемлемы, и бывают очень даже конструктивными. (Reply to this)(Parent)(Thread)

linguiste 2004-05-24 09:41 am UTC (link)

Конструктивизм, одно из ответвление интуиционизма, - направление в математике, не признающее закон исключенного третьего. Следовательно, любое доказательство "от противного", то есть сведение к абсурду отрицания А - не работает как доказательство истинности А. Чтобы доказать, что утверждение "Все утверждения ложны" - ложно, надо представить заведомо истинное утверждение, и никак иначе. Истинность его тоже доказать, полагаю, невозможно. Следовательно, оно пока что неопределено. Кроме того, из него непосредственно следует утверждение "Это утверждение ложно", а оно бессмысленно, с чем Вы согласны. Следовательно, оно само является таковым. (Reply to this)(Parent)(Thread)

alexeus 2004-05-24 10:07 am UTC (link)

В математике огромное количество очень важных теорем доказывается методом «от противного». То, что есть какие-то направления, занимающиеся высказываниями с неопределенной истинностью, и то, что для них не применимо доказательство от противного, ничего не значит для доказательства от противного для множества утверждений, истинность которых может быть установлена. Кстати, если говорить о направлениях математики, не приемлющих законов исключенного третьего, то они на самом деле, если копать глубже, сами строятся на законе исключенного третьего. Утверждение «Все утверждения ложны» ложно в допущении двух предположений: 1. Множество утверждений, для которых определена истинность, не пусто. 2. Утверждение «Все утверждения ложны» принадлежит этому множеству. Оба этих предположения вполне можно допустить. (А без допущений не бывает никаких доказательств вообще!!!) Кроме того, то, что из него следует утверждение «Это утверждение ложно» ничего не говорит об определенности истинности для исходного утверждения. Вот так-то... P.S. Я — математик... (Reply to this)(Parent)(Thread)

linguiste 2004-05-24 10:51 am UTC (link)

1. По поводу P.S. Наличие у Х математического образования не гарантирует истинности любых высказываний Х на математическую тему. Если вы не согласны с предыдущей фразой, то, очевидно, дальнейшая дискуссия бесполезна. Если же согласны, то: >В математике огромное количество очень важных теорем доказывается методом «от противного». Для большинства из них можно найти доказательство, не использующее закон исключенного третьего (или снятия двойного отрицания, чтобы быть более точным). Ежели такого найти не удается, то это повод к очень содержательным размышлениям. >доказательства от противного для множества утверждений, истинность которых может быть установлена. Оборот не имеет смысла. "Установление истинности" и есть "доказательство". Как можно заранее принять, что доказательство существует, а потом начать доказывать? Мы не в партшколе все-таки. Интуиционизм и "классическая" математика соотносятся примерно как геометрия Лобачевского и Евклида: в первом на одну аксиому меньше. Соответственно, для утверждения Х может существовать доказательство, основанное на "классическом" наборе аксиом, и отсутствовать для набора без аксиомы снятия двойного отрицания. >Кстати, если говорить о направлениях математики, не приемлющих законов исключенного третьего, то они на самом деле, если копать глубже, сами строятся на законе исключенного третьего. Можно поподробней? Выходит, что песонажи вроде А.А.Маркова или Колмогорова понимали в математике меньше Вашего. >Утверждение «Все утверждения ложны» ложно в допущении двух предположений: 1. Множество утверждений, для которых определена истинность, не пусто. 2. Утверждение «Все утверждения ложны (*)» принадлежит этому множеству. Вы используете аннотированный выше прием: допустив, что утверждение ОБЯЗАТЕЛЬНО истинно или ложно, Вы победоносно доказываете, что оно ложно. Разумеется, ЕСЛИ (* - истинно или ложно), ТО оно ложно. Проблема в том, что утверждение в скобках вы даже не пытаетесь получить, а широким жестом "допускаете". Это все равно, что допустить истинность Теоремы Ферма для всех чисел, кроме 4. А потом красиво вывести случай для 4 и объявить теорему доказанной. >Оба этих предположения вполне можно допустить. (А без допущений не бывает никаких доказательств вообще!!!) Покажите эту фразу своему учителю математики. Хотя бы школьному. Он Вам расскажет про такую вещь как "аксиома", и, может быть, научит ими пользоваться. >Кроме того, то, что из него следует утверждение «Это утверждение ложно» ничего не говорит об определенности истинности для исходного утверждения. Вот здесь могу согласиться. Если из * следует бессмысленное утверждение, то мы можем точно сказать, что * - не истинно. Все остальное надо выяснять отдельно. Желаю успеха. (Reply to this)(Parent)(Thread)

(no subject) - alexeus, 2004-05-24 11:59 am UTC

	kmartynov 2004-05-24 02:09 pm UTC (link)
	У меня тоже такое ощущение. Это как раз тот самый случай, когда предложение бессмысленно ;) (Reply to this)(Parent)

---